已知函数f(x)=ax+bx2+1（其中常数a，b∈R），g(x)=sinx-2πx．
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解题思路：（I）根据所给的函数是一个奇函数，写出奇函数成立的等式，整理出b的值是0，得到函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，求出极值点．
（II）要求函数的单调增区间，首先对函数求导，使得导函数大于0，解不等式，问题转化为解一元二次不等式，注意对于a值进行讨论．
（Ⅲ）求出函数g（x）在[0，a]上的极值、端点值，比较其中最小者即为h（a），再利用奇函数性质及基本不等式求出f（x）的最小值，对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，
等价于f（x）min＞h（a），在
a∈(
π
2
，π]
上只要找到一a值满足该不等式即可．
（Ⅰ）当a=1时，
因为函数f（x）是奇函数，∴对x∈R，f（-x）=-f（x）成立，
得[-x+b
x2+1=-
x+b
x2+1，∴
2b
x2+1=0⇒b=0，
∴f(x)=
x
x2+1，得f′(x)=
x2+1-2x2
(x2+1)2=
-x2+1
(x2+1)2，
令f'（x）=0，得x2=1，∴x=±1，
经检验x=±1是函数f（x）的极值点．
（Ⅱ）因为 f(x)=
ax+b
x2+1，∴f′(x)=
a(x2+1)-2x(ax+b)
(x2+1)2=
-ax2-2bx+a
(x2+1)2，
令f'（x）＞0⇒-ax2-2bx+a＞0，得ax2+2bx-a＜0，
①当a＞0时，方程ax2+2bx-a=0的判别式△=4b2+4a2＞0，两根x=
-2b±
△/2a=
-b±
a2+b2
a]，
单调递增区间为(
-b-
a2+b2
a，
-b+
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题是考查导数的综合应用的题目，是一个以考查函数的单调性和最值为主的题目，同时考查分析问题解决问题的能力，解题过程中要解含参数的一元二次不等式的解法．
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