根据条件可分类讨论
1) m=0,则f(x)=-8x=1,g(x)=0,取x=-1,f(1)=-7,g(1)=0,不满足若对于任一实数x，
fx与gx至少一个为正数，因而该条件舍去
2) m≠0根据条件可知g(x)是一条直线，不管x取什么值，都会横穿y轴，
所以g(x)值的范围是所有实数，因此要让条件成立只需要让f(x)>0即可
对f(x)进行配方得到
f(x)=2m[x-[(4-m)/2m]]^2+1-[(4-m)/2m]^2
根据二次函数性质x的系数决定函数开口方向，因此可知当m>0时，开口方向向上
在x=(4-m)/2m时，取得最小值Ymin=1-[(4-m)/2m]^2
只要让Ymin>0,即可求得m的取值范围，对Ymin化简，和因式分解得到
(3m-4)(m+4)<0， m范围是-4
0,所以最终的范围是0
综合1),2)的分析最终得到的m范围是0
2设PA=PB=X（x＞0），∠APO=α，
则∠APB=2α，由勾股定理得PO=根号（1+x^2），
sinα=1/根号（1+x^2），
向量PA*向量PB=|PA*PB|cos2α=x^2（1-2sin^2α）={x^2（x^2-1）}/(1+x^2)
=（x^4-x^2）/（1+x^2），
令向量PA*向量PB=y，
则y==（x^4-x^2）/（1+x^2），
即x^4-（1+y）x^2-y=0，
由于x^2是实数∴△={-（1+y）}^2-4×1×（-y）≥0，
y^2+6y+1≥0
解得y≤-2√2-3或y≥-3+2√2
x^2＞0，设x^2=t,
方程x^4-（1+y）x^2-y=0可以化为t^2-（1+y）t-y=0,
根据韦达定理得：t1+t2=1+y,t1t2=-y,
当y≤-2√2-3时，t1+t2<0, t1t2>0,
这时t1，t2都是负值，因为x^2=t>0,所以不合题意，舍去。
当y≥-3+2√2时，t1+t2>0, t1t2>0,
这时t1，t2都是正值，符合题意。
故（向量PA*PB）min=-3+2√2
此题引用了 http://zhidao.baidu.com/question/274719650.html
