设a1,a2,...,an都是正数,证明不等式(a1+a2+...+an)[1/(a1)+1/(a2)+...+1/(a
2个回答
用数学归纳法证明(a1+a2+...+an)*(1/a1+1/a2+...1/an)>=n^2
证明:
当n=1时,a1*(1/a1)=1>=1^2 成立.
假设当n=k时,命题成立.
即:(a1+a2+...+ak)*(1/a1+1/a2+...1/ak)>=k^2
则 n=k+1时,
(a1+a2+...+ak+a)*(1/a1+1/a2+...1/ak+1/a)
=(a1+a2+...+ak)*(1/a1+1/a2+...1/ak)+a*(1/a1+1/a2+...1/ak)+1/a*(a1+a2+...+ak) +1
>=k^2+a*(1/a1+1/a2+...1/ak)+1/a*(a1+a2+...+ak) +1 {由n=k时的结论}
>=k^2+2*根号[a*(1/a1+1/a2+...1/ak)*1/a*(a1+a2+...+ak)]+1 {算术平均数不小于几何平均数}
=k^2+2*根号[(1/a1+1/a2+...1/ak)*(a1+a2+...+ak)]+1 {由n=k时的结论}
>=k^2+2*k+1
=(k+1)^2
因此当n=k+1时,命题成立.
命题得证.
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