如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．
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解题思路：（1）证出DE经过半径的外端且垂直于半径即可；
（2）利用中位线定理证出OE=CD，OE∥CD，即可根据平行四边形的性质证明四边形OECD是平行四边形；
（3）作OH⊥AC，构造相应的直角三角形，利用三角函数的定义解答即可．
（1）证明：连接BD，OD，
∵AB是直径，
∴BD⊥AC．
∵E是BC的中点，
∴EB=EC=DE，
∴∠EDB=∠EBD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，
∴∠ODE=∠ABC=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（2）证明：连接OE，
∵E是BC的中点，OF=CF，
∴EF是△OBC的中位线．
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴
CD
AC＝
CE
CB＝
1
2]．
∵AO=BO，E是BC的中点，
∴OE∥AC且[OE/AC＝
1
2]．
∴OE=CD，
∴四边形OECD是平行四边形．
（3）作OH⊥AC，垂足为H，不妨设OE=1，
∵[CF/OF＝n，△OEF∽△CDF，
∴CD=n，
∵OE=1，
∴AC=2．
∴AD=2-n，由△CDB∽△BDA，得BD2=AD•CD．
∴BD2=n•（2-n），BD＝
2n−n2]．
∴OH＝
1
2BD＝
2n−n2
2，而CH＝n+
2−n
2＝
2+n
2．
∴tan∠ACO＝
OH
CH＝
2n−n2
n+2．
点评：
本题考点： 切线的判定；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
考点点评： 本题考查了切线的判定、平行四边形的判定和锐角三角函数的定义，相似三角形的性质在解题中起到了至关重要的作用．
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