设I为三角形ABC的内心,若5*IA+6*IB+7*IC=0向量,且三角形ABC周长为36,则三角形ABC的面积为?
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先证明一个结论：
已知I为三角形ABC的内心,a,b,c分别是A.B.C边所对边长. 则aIA+bIB+cIC=0(IA,IB,IC均指向量)
证明：设三角形ABC,AD为BC边上的角平分线,内心为I.
|BC|=a,|AC|=b,|AB|=c
aIA+bIB+cIC
=aIA+b(AB+IA)+c(AC+IA)
=(a+b+c)IA+b(DB-DA)+c(DC-DA)
设BC的方向向量e,则DB=e|DB|,DC=-e|DC|
又由角平分线定理,|DB|/|DC|=c/b,所以bDB+cDC=0
(a+b+c)IA+b(DB-DA)+c(DC-DA)= (a+b+c)IA- b DA- c DA =aIA+(b+c)ID
又因为IA、ID反向,用角平分线定理和合比定理：
b/CD=c/BD=(b+c)/(CD+BD)=(b+c)/a, b/CD=IA/ID,
所以IA/ID=(b+c)/a , 又因为IA、ID反向,
故aIA+bIB+cIC=aIA+(b+c)ID =0.
本题中,5*IA+6*IB+7*IC=0向量,
因为aIA+bIB+cIC=0,
所以a:b:c=5:6:7,
三角形ABC周长为36,
所以a=10,b=12,c=14.
根据余弦定理可求得cosC=1/5,
则sinC=2√6/5,
所以三角形面积=1/2*absinC=24√6.
选D.
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