抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A（1，[9/4]），对称轴是直线x=2，顶点是D，与x轴正半轴的交点为点B．
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解题思路：（1）根据抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A（1，[9/4]），对称轴是直线x=2，可得关于a，b的方程组，求得a，b的值，从而得到抛物线y=ax2+bx（a≠0）的解析式；再根据顶点坐标公式即可得到顶点D的坐标；
（2）设⊙M的半径为r．分两种情况：①当⊙M和⊙N外切时，此时点M在线段BO上；②当⊙M和⊙N外切时，此时点M在线段BO的延长线上；列出关于r的方程，求得r的值，从而得到点M的坐标．
（1）由题意，得
a+b＝
9
4
−
b
2a＝2，
解得：
a＝−
3
4
b＝3．
则抛物线y=ax2+bx（a≠0）的解析式y＝−
3
4x2+3x，顶点D（2，3）．
（2）设⊙M的半径为r．
由当以DC为直径的⊙N和以MB为半径的⊙M相切时，分下列两种情况：
①当⊙M和⊙N外切时，此时点M在线段BO上，
可得32+（4-r-1）2=（r+1）2．
解得r＝
17
8，
∴M(
15
8，0)．
②当⊙M和⊙N内切时，此时点M在线段BO的延长线上，
可得32+（r-1-2）2=（r-1）2．
解得r＝
17
4，
∴M(−
1
4，0)．
综合①、②可知，当⊙M和⊙N相切时，M(
15
8，0)或M(−
1
4，0)．
点评：
本题考点： 二次函数综合题
考点点评： 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求函数解析式，对称轴公式、顶点坐标公式；第（2）问注意分内切和外切两种情况讨论求解，综合性较强．
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