如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,且AE平分∠BAC,下列关系式
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解题思路:根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE,根据等边对等角可得∠BAE=∠B,然后利用直角三角形两锐角互余列式求出∠CAE=∠BAE=∠B=30°,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE=2CE,BE=2DE,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=EC,然后对各选项分析判断后利用排除法求解.

∵DE是AB的垂直平分线,

∴AE=BE,

∴∠BAE=∠B,

∵AE平分∠BAC,

∴∠CAE=∠BAE,

∵∠C=90°,

∴∠CAE=∠BAE=∠B=30°,

A、在Rt△ACE中,AE=2CE,故本选项正确;

B、∠B=∠CAE正确,故本选项错误;

C、∵∠DEA=90°-30°=60°,2∠B=2×30°=60°,

∴∠DEA=2∠B,故本选项错误;

D、在Rt△BDE中,BE=2DE,

∵AE平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,

∴DE=EC,

∴BC=EC+BE=EC+2EC=3EC,故本选项错误.

故选A.

点评:

本题考点: 线段垂直平分线的性质;角平分线的性质.

考点点评: 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,等边对等角的性质,以及三角形的内角和定理,熟记各性质是解题的关键.