3、（2008•双柏县）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2-10x+16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=-2．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合）,过点E作EF‖AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状；若不存在,请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）先解一元二次方程,得到线段OB、OC的长,也就得到了点B、C两点坐标,根据抛物线的对称性可得点A坐标；
（2）把A、B、C三点代入二次函数解析式就能求得二次函数解析式；
（3）易得S△EFF=S△BCE-S△BFE,只需利用平行得到三角形相似,求得EF长,进而利用相等角的正弦值求得△BEF中BE边上的高；
（4）利用二次函数求出最值,进而求得点E坐标．OC垂直平分BE,那么EC=BC,所求的三角形是等腰三角形．（1）解方程x2-10x+16=0得x1=2,x2=8 （1分）
∵点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,且OB＜OC
∴点B的坐标为（2,0）,点C的坐标为（0,8）
又∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（-6,0）（2分）
（2）∵点C（0,8）在抛物线y=ax2+bx+c的图象上
∴c=8,将A（-6,0）、B（2,0）代入表达式,
得：{0=36a-6b+80=4a+2b+8
解得 {a=-23b=-83
∴所求抛物线的表达式为y=- 23x2- 83x+8（5分）
（3）依题意,AE=m,则BE=8-m,
∵OA=6,OC=8,
∴AC=10
∵EF‖AC
∴△BEF∽△BAC
∴ EFAC= BEAB,即 EF10= 8-m8
∴EF= 40-5m4（6分）
过点F作FG⊥AB,垂足为G,
则sin∠FEG=sin∠CAB= 45
∴ FGEF= 45
∴FG= 45• 40-5m4=8-m
∴S=S△BCE-S△BFE= 12（8-m）×8- 12（8-m）（8-m）
= 12（8-m）（8-8+m）= 12（8-m）m=- 12m2+4m（8分）
自变量m的取值范围是0＜m＜8 （9分）
（4）存在．
理由：∵S=- 12m2+4m=- 12（m-4）2+8且- 12＜0,
∴当m=4时,S有最大值,S最大值=8 （10分）
∵m=4,
∴点E的坐标为（-2,0）
∴△BCE为等腰三角形．（12分）点评：本题综合考查一元二次方程的解法；用待定系数法求二次函数解析式；以及求二次函数的最值等知识点．
