哥德巴赫猜想的最新进展
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哥德巴赫猜想已经获得证明

从质数定理到哥德巴赫猜想

Sha Yin-Yue Room 105,9,TaoYuanXinCun,HengXi Town,NingBo City,Z.J.315131,CHINA

沙寅岳(通信地址:中国浙江省宁波市鄞州区横溪镇桃园新村路下9号105室,邮编:315131)

一、论不大于一所给数的质数个数

设Pi(N)表示不大于N的质数的总个数,那么,有如下公式成立:

Pi(N) ≡ INT { N×(1-1/P1)×(1-1/P2)×…×(1-1/Pm)+ m - 1 }

Pi(N)≈ Psha(N)≡ Li(N)×(1-1/√N)

Sha(N)≡ 2 /(1+√(1-4 / Ln(N)))× N/ Ln(N)≥ N /(Ln(N)-1)

式中INT { } 表示对 { } 内公式展开式的每一项取整后再进行加减运算,P1、P2、…、Pm 为所有不大于√N 的 m 个质数,INT(N)为取整函数,Ln(N)为自然对数.

由理论上的推理获得,当 N ≥ 100000000 时,有如下公式成立:

Li(N)≥ Pi(N)≥ Sha(N)≥ N /(Ln(N)- 1)≥ N / Ln(N)

二、论不大于一个所给数的孪生质数的数量

设Tp(N)表示不大于N的孪生质数的数量,那么,有如下公式成立:

Sha(N)≡ 2 /(1+√(1-4 / Ln(N)))× N/ Ln(N)≥ N /(Ln(N)- 1)

Tsha(N) ≡ 2 / N × 0.660161815846869573927812… ×( Sha(N))^2

Pi(N) ≡ INT { N×(1-1/P1)×(1-1/P2)×…×(1-1/Pm)+ m - 1 }

Tpi(N)≡ 2 / N × 0.660161815846869573927812… ×( Pi(N))^2

式中Pi(N)表示不大于N的质数的总个数,INT { } 表示对 { } 内公式展开式的每一项取整后再进行加减运算,P1、P2、…、Pm 为所有不大于√N 的 m 个质数,0.660161815846869573927812…为孪生质数常数,INT(N)为取整函数,Ln(N)为自然对数.

由理论上的推理获得,当 N ≥ 100000000 时,有如下公式成立:

Tp(N)≥ Tpi(N)≥ Tsha(N)≡ 2 / N × 0.660161815846869573927812… ×( Sha(N))^2

≥ 2 × 0.660161815846869573927812… × N /( Ln(N)- 1)^2 ≥ 1.32 × N /( Ln(N))^2

三、论偶数表为两个质数之和的表法的数量

设Gp(N)表示偶数N表为两个奇质数Gp与N-Gp之和的表法的数量,那么,有如下公式成立:

Pi(N) ≡ INT { N×(1-1/P1)×(1-1/P2)×…×(1-1/Pm)+ m - 1 }

Sha(N)≡ 2 /(1+√(1-4 / Ln(N)))× N / Ln(N)≥ N /(Ln(N)- 1)

Gpi(N)≡ Ctwin × K× 4 / N × Pi(N/2)×( Pi(N)- Pi(N/2))

Gsha(N)≡ Ctwin × K× 4 / N × Sha(N/2)×( Sha(N)- Sha(N/2))

K = ∏((1-1 / Pc)/(1-2 / Pc))≥ 1

Ctwin = 0.660161815846869573927812…

式中Pi(N)表示不大于N的质数的总个数,INT { } 表示对 { } 内公式展开式的每一项取整后再进行加减运算,P1、P2、…、Pm 为所有不大于√N 的 m 个质数,Pc为不大于√N且能整除偶数N的奇质数,0.660161815846869573927812…为孪生质数常数,INT(N)为取整函数,Ln(N)为自然对数.由理论上的推理获得,当 N ≥ 1000 时,有如下公式成立:

Gp(N)≈ Gsha(N)≡ Ctwin × K× 4 / N × Sha(N/2)×( Sha(N)- Sha(N/2))

四、论奇数表为三个奇质数之和的表法数量

设 Rp(N)表示奇合数 Nm 表为三个奇质数之和的表法的数量,那么,有如下公式成立:

Rsha(N)≡ Ctwin / Csha× 4/3× Sha(N/2)×( Sha(N)- Sha(N/2)) / Ln(N)

Sha(N)≡ 2 /(1+√(1-4 / Ln(N)))× N / Ln(N)≥ N /(Ln(N)- 1)

Csha = ∏(1+ 1 /((Pc-1)×(Pc-2)))≤ 1.7427254117700785228536593832332…

式中Csha为比例系数,Pc为不大于√N且能整除奇合数 N的奇质数,Ln(N)为自然对数.