设函数f（x）=ln（x+1）（1）若x＞0证明： f(x)＞ 2x x+2 ．（2）若不等式 1 2 x 2 ≤f(
1个回答
（1）令 g(x)=f(x)-
2x
x+2 =ln(x+1)-
2x
x+2 ，
则 g ′ (x)=
1
x+1 -
2(x+2)-2x
(x+2) 2 =
x 2
(x+1) (x+2) 2 ．
∵x＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数．
故g（x）＞g（0）=0，即 f(x)＞
2x
x+2 ．
（2）原不等式等价于
1
2 x 2 -f( x 2 )≤ m 2 -2bm-3 ．
令 h(x)=
1
2 x 2 -f( x 2 )=
1
2 x 2 -ln(1+ x 2 ) ，则 h ′ (x)=x-
2x
1+ x 2 =
x 3 -x
1+ x 2 ．
令h′（x）=0，得x=0，x=1，x=-1．
∴当x∈[-1，1]时，h（x） max=0，∴m 2-2bm-3≥0．
令Q（b）=-2mb+m 2-3，则
Q(1)= m 2 -2m-3≥0
Q(-1)= m 2 +2m-3≥0
解得m≤-3或m≥3．
相关问题
