已知：如图，BD为⊙O的直径，点A是劣弧BC的中点，AD交BC于点E，连接AB．
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解题思路：（1）点A是劣弧BC的中点，即可得∠ABC=∠ADB，又由∠BAD=∠EAB，即可证得△ABE∽△ADB，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得AB2=AE•AD；
（2）由（1）求得AB的长，又由BD为⊙O的直径，即可得∠A=90°，由DF是⊙O的切线，可得∠BDF=90°，在Rt△ABD中，求得tan∠ADB的值，即可求得∠ADB的度数，即可证得△DEF是等边三角形，则问题得解．
（1）证明：∵点A是劣弧BC的中点，
∴∠ABC=∠ADB．（1分）
又∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABE∽△ADB．（2分）
∴[AB/AE＝
AD
AB]．
∴AB2=AE•AD．（3分）
（2）∵AE=2，ED=4，
∵△ABE∽△ADB，
∴[AB/AE＝
AD
AB]，
∴AB2=AE•AD，
∴AB2=AE•AD=AE（AE+ED）=2×6=12．
∴AB=2
3（舍负）．（4分）
∵BD为⊙O的直径，
∴∠A=90°．
又∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥BD．
∴∠BDF=90°．
在Rt△ABD中，tan∠ADB=
AB
AD＝
2
3
6＝
3
3，
∴∠ADB=30°．
∴∠ABC=∠ADB=30°．
∴∠DEF=∠AEB=60°，∠EDF=∠BDF-∠ADB=90°-30°=60°．
∴∠F=180°-∠DEF-∠EDF=60°．
∴△DEF是等边三角形．
∴EF=DE=4．（5分）
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形．
考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．
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