若直角三角形的面积等于其周长,则这样的直角三角形有多少个?
3个回答
直角三角形的三边都是整数吧?否则有无数个.
= = = = = = = = =
设直角三角形两直角边为a,b,(a≤b),
则 斜边为 √(a^2+b^2).
由已知,
(1/2)ab =a +b +√(a^2+b^2),
即 2√(a^2+b^2) =2(a+b) -ab,
即 4(a^2 +b^2) =4(a+b)^2 -4ab(a+b) +(ab)^2,
即 8ab -4ab(a+b) +(ab)^2 =0.
即 ab [ 8 -4(a+b) +ab ] =0.
又因为 ab>0,
所以 8 -4(a+b) +ab =0.
即 (ab -4a) -(4b -16) -16 +8 =0,
即 (a-4) (b-4) =8.
又因为 a,b 为整数,且 b ≥a ≥1,
所以 b-4 ≥ a-4 ≥ -3.
所以 a-4 =1,b-4 =8,
或 a-4 =2,b-4 =4.
解得 a=5,b=12,
或 a=6,b=8.
所以 直角三角形三边为
6,8,10
或 5,12,13.
共两个.
= = = = = = = = =
由 8 -4(a+b) +ab =0.
得出 (a-4) (b-4) =8.
这个是关键.
因为要求整数解.
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