任何三角形的三条高都交于同一点吗

任何三角形的三条高都交于同一点吗

为什么我画了很多三角形 都不是这样的呢

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三角形的三条高交于一点,这点称作三角形的垂心.

证明：

方法1

三角形ABC中,AC、AB上的高为BE和CF.

显然三角形ABE相似于三角形ACF,故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)

过A作三角形ABC的高AD,分别交BE,CF,AB于O1,O2,D.

由三角形AFO2相似于三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)

由三角形AEO1相似于三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)

根据等式(1)(2)(3)有

AO1*AD＝AO2*AD,

所以AO1=AO2,O1、O2重合,记重合点为O点,则O点均在高AD,BE,CF上,所以三角形ABC得三条高交于一点O.

方法2

三角形ABC中,AC、AB上的高BE和CF交于O点,连接并延长AO交BC于D,只需证AD为高即可.

因为角BEC,角CFB均为直角,所以B、C、F、E四点共圆,记为圆BCFE,

由切割线定理知:AF*AB = AE*AC (4)

分别记直角三角形BOF,COE的外接圆为圆BOF,圆COE,

下面只需证明角BDA＝90度即可,

反证：若角BDA小于90度,则角CDA大于90度,因BO,CO分别为圆BOF,圆COE的直径,所以点D在圆BOF外,在圆COE内,由切割线定理推论

AO*AD>AF*AB （点D在圆BOF外）

AO*AD

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