解题思路：（1）由Pn+1=Pn+[n
3
n+1
（n∈N*），利用叠加法得Pn=P1+（P2-P1）+（P3-P2）+…+（Pn-Pn-1）=
1+
1
3
2
+
2
3
2
+…+
n−1
3
n
，从而有
3
P
n
＝3+
1/3
+
2
3
3
+
3
3
3
+…+
n−1
3
n−1
]，上述两式错位相减，可得
P
n
＝
5
4
−
2n+1
4•
3
n
，从而求得数列{bn}的通项公式；
（2）由题意得，
T
n
＝
1
2
+
2
2
2
+
3
3
3
+…+
n
2
n
，再使用错位相减法求得
T
n
＝2−
n+2
2
n
，从而可以证明；
（3）将An=
1
n(n+1)
Tn，化简，再进行分组可得
(
2
1
−
2
2
+
2
2
−
2
3
+
2
3
−
2
4
+…+
2
n
−
2
n+1
)−
(
1
1•2
−
1
2•
2
2
+
1
2•
2
2
−
1
3•
2
3
+…+
1
n2
n
−
1
(n+1)
2
n+1
)
，进而分别求和，利用放缩法可以证得．
（1）由已知得P1＝
b1
3＝1， Pn+1−Pn＝
n
3n+1，
∴Pn=P1+（P2-P1）+（P3-P2）+…+（Pn-Pn-1）=1+
1
32+
2
32+…+
n−1
3n，
∴3Pn＝3+
1
3+
2
33+
3
33+…+
n−1
3n−1
上述两式错位相减得：Pn＝
5
4−
2n+1
4•3n
∴bn＝3nPn＝
5
4•3n−
2n+1
4
（2）∵Cn＝(bn−
1
4)•
t
n+1+n＝(
5
4•3n−
n+1
2)•
t
n+1+n＝
5t•3n
4(n+1)+n−
t
2，
∴当且仅当t=0时，数列Cn成等差数列，此时Cn=n（n∈N+）
∴Tn＝
1
2+
2
22+
3
33+…+
n
2n
∴2Tn＝1+
2
2+
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的应用；数列递推式．
考点点评： 本题主要考查叠加法求数列的通项，考查错位相减求数列的和，数列与不等式的综合，有一定难度．
1年前
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