解题思路：（Ⅰ）先判断RQ是线段FP的垂直平分线，从而可得动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线；
（Ⅱ）设M（m，-p），两切点为A（x1，y1），B（x2，y2），求出切线方程，从而可得x1，x2为方程x2-2mx-4p2=0的两根，进一步可得直线AB的方程，即可得到直线恒过定点（0，p）；
（Ⅲ） 由（Ⅱ）的结论，设M（m，-p），A（x1，y1），B（x2，y2），且有x1+x2=2m，x1x2=-4p2，从而可得kMA=
y
1
+p
x
1
−m]，kMB=
y
2
+p
x
2
−m
，由此可证直线MA，MF，MB的斜率的倒数成等差数列．
（Ⅰ）依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，
∴RQ是线段FP的垂直平分线．---------------------------------------（2分）
∴|PQ|=|QF|．
∴动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：x2=4py（p＞0）．--------------------（4分）
（Ⅱ）证明：设M（m，-p），两切点为A（x1，y1），B（x2，y2）
由x2=4py得y＝
1
4px2，求导得y′=[1/2px．
∴两条切线方程为y−y1＝
1
2px1(x−x1) ①
y−y2＝
1
2px2(x−x2)②-------------------（6分）
对于方程①，代入点M（m，-p）得，−p−y1＝
1
2px1(m−x1)，
又y1＝
1
4px12
∴−p−
1
4px12＝
1
2px1(m−x1)
整理得：x12−2mx1−4p2＝0
同理对方程②有x22−2mx2−4p2＝0
即x1，x2为方程x2-2mx-4p2=0的两根．
∴x1+x2=2m，x1x2=-4p2③-----------------------（8分）
设直线AB的斜率为k，k＝
y2−y1
x2−x1]=[1/4p(x1+x2)
所以直线AB的方程为y−
1
4px12＝
1
4p(x1+x2)(x−x1)，展开得：y＝
1
4p(x1+x2)x−
x1
点评：
本题考点： 与直线有关的动点轨迹方程；直线的斜率；恒过定点的直线．
考点点评： 本题考查抛物线的定义，考查直线恒过定点，考查直线的向量，解题的关键是正确运用韦达定理，属于中档题．
1年前
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