已知数列{an}的通项公式an=[1(n+1)2（n∈N*），记f（n）=（1-a1）（1-a2）…（1-an）．
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解题思路：（1）根据{an}的通项公式算出a1，a2，a3，再代入f（n）=（1-a1）（1-a2）…（1-an），算出f（1），f（2），f（3）的值，然后由前三项推测出f（n）的值；
（2）第一步，先将n=1时代入猜想验证；第二步，写出假设（只需将f（n）中的n换成k即可），再利用f（n+1）=f（n）•（1-an+1），把ak+1算出来连同假设一起代入上式，算出f（k+1）进行化简即可．
（1）由an=
1
(n+1)2（n∈N*）得a1=
1/4]，a2=[1/9]，a3=[1/16]，
将其代入f（n）=（1-a1）（1-a2）…（1-an）得f（1）=[3/4]，f（2）=[4/6]，f（3）=[5/8]，
猜想f（n）=[n+2/2n+2]，（n∈N*）
（2）证明：①当n=1时，f（1）=[1+2/2×1+2＝
3
4]，由（1）可知，猜想成立．
②假设n=k时，猜想成立，即f（k）=[k+2/2k+2]成立，
由f（n）=（1-a1）（1-a2）…（1-an）可知f（k+1）=（1-a1）（1-a2）…（1-ak）（1+ak+1）=f（k））（1-ak+1）
=[k+2/2k+2]（1-
1
(k+2)2）
=
k+2
2(k+1)•
(k+2)2−1
(k+2)2
=
k+2
2(k+1)•
(k+3)(k+1)
(k+2)2
=
(k+1)+1
2(k+1)+2
即n=k+1时猜想也成立．
由①②可知，猜想对任意的正整数都成立．
点评：
本题考点： 数学归纳法；归纳推理．
考点点评： 第一步在验证时，一定是n的初始值n0；第二步证明n=k+1时的命题时，一定要用上归纳假设，否则就不是数学归纳法，同时要特别注意从n=k到n=k+1时命题之间的联系．
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