Proof:E(C*zi)=c^2/2,where c is a constant,N(0,1),i=1 2 3...
2个回答

这样简化是不对的……

显然由于期望函数的线性性质,E(CZi)=C*E(Zi)=0(因为EZ=0)

其实原题的左边就是随机变量的矩母函数（moment generating function）的定义啊,正态的矩母函数超重要的.

证明：

E(exp(CZi))=将{exp(-0.5x^2+cx)/根号(2pai)}dx从负无穷到无穷

=将{exp(-0.5(x-c)^2+0.5c^2)/根号(2pai)}dx从负无穷到无穷

=将{exp(-0.5(x-c)^2+0.5c^2)/根号(2pai)}d(x-c)从负无穷到无穷(变量代换)

=将{exp(-0.5y^2+0.5c^2)/根号(2pai)}dy从负无穷到无穷

=[将{exp(-0.5y^2)/根号(2pai)}dy从负无穷到无穷]*exp(0.5c^2)(积分里面是标准正态的密度函数)

=exp(0.5c^2)

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