如图,O是平行四边形ABCD对角线BD延长线上的一点,连接AO、CO,若∠1=∠2,证明：
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用全等和四边形性质的话,此题似乎不太容易,给一个比较简洁的面积证法吧.以下用S(ABC)表示三角形ABC的面积.
要用一个引理：共角(有一个角相等)的三角形面积比等于夹此角两边乘积之比.即：若三角形ABC与A'B'C'满足∠A=∠A',则S(ABC)/S(A'B'C')=AB*AC/(A'B'*A'C').
引理证明不难.不妨设A与A'重合,B'在直线AB上,C'在直线AC上.连B'C. 等高三角形面积之比=底边长之比,故有：
S(ABC)/S(AB'C')=[S(ABC)/S(AB'C)]*[S(AB'C)/S(AB'C')]=(AB/AB')*(AC/A'C').
现在看原题.由于OB平分AC, 故S(OAD)=S(OCD), S(OAB)=S(OCB).
由已知,∠OAD=∠OCD, 故∠OAB=∠OCB.
利用上面的引理,应有OA*AD=OC*CD, OA*AB=OC*CB.
两式相除: AD/CD=AB/CB. 但AD=BC, AB=CD, 所以AB=BC. 故ABCD是菱形.
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