三人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过n次传球后,分别求出球回到甲,乙,丙手中的概率.
7个回答
这里应该要假设出每人传球时传给各个人的概率
一下默认每人均有1 / 2的概率传给另外两个人,并且每次传球相互独立
设经过n次传球后,求在这三人手中的概率分别是 a_n,b_n,c_n
且 a_0 = 1,b_0 = 0,c_0 = 0
状态转移：
a_{n+1} = (b_n + c_n) / 2
b_{n+1} = (c_n + a_n) / 2
c_{n+1} = (a_n + b_n) / 2
考虑到 a_n + b_n + c_n = 1恒成立
并且状态转移方程的相似性,仅取a_n进行分析,别的同理可得.
a_{n+1} = (b_n + c_n) / 2
= (1 - a_n) / 2
故
a_{n+1} - 1/3 = -1 / 2 *(a_n - 1 / 3)
= (-1/2)^{n+1} * (a_0 - 1 / 3)
a_n = (-1/2)^n * (a_0 - 1 / 3) + 1 / 3
同理
b_n = (-1/2)^{n} * (b_0 - 1 / 3) + 1 / 3
c_n = (-1/2)^{n} * (c_0 - 1 / 3) + 1 / 3
带入初值,得
a_n = (-1/2)^n * (2 / 3) + 1 / 3
b_n = c_n = (-1/2)^{n} * (-1 / 3) + 1 / 3
同时容易发现,当n趋于无穷时,三个概率均趋于 1/3
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