在数列{an}中,a1=a2=1,a3=2.a(n+3)=[3+a(n+1)*a(n+2)]/an,求an.
1个回答
此题过程很长,我写详细点,多几步换元
aa=3+a*a
aa=3+a*a
相减消去3
aa-aa=a*a-a*a
两边除以aa
a/a-a/a=a/a-a/a
令a/a=b
1/b-b=1/b-b
1/b+b=1/b+b
看到了吗?令c=1/b+b
所以c=c,为常数数列
1.n为奇数
b=a/a=1
b=a/a=2
所以c=1/b+b=3
c=c=3
2.n为偶数
b=2
b=a/a=5/2
c=1/b+b=1/2+5/2=3
故c=3恒成立
c=3=1/b+b=(a+a)/a
所以a-3a+a=0
所以为二阶线性递推式,齐次差分方程
特征值λ^2-3λ+1=0
解得λ=(3+√5)/2或λ=(3-√5)/2
通解a=C(λ)^n+C(λ)^n
代入
a=1=Cλ+Cλ
a=1=C(λ)^2+C(λ)^2
解得C=1+2√5/5,C=1-2√5/5
所以
a=(1+2√5/5)*[(3+√5)/2]^n+(1-2√5/5)*[(3-√5)/2]^n
二阶线性递推的部分也可以转化成等比数列来求,不过麻烦得多.如果你不知道这个做法,那我可以把那个方法写下来.
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