如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME
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（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC，
∴AM=ME，∠AMN=∠EMN．
又∵MN=MN，
∴△ANM≌△ENM．
（2）证明：∵AB 2=AF•AC，
∴
AB
AC =
AF
AB ．
又∵∠BAC=∠FAB=90°，
∴△ABF ∽ △ACB．
∴∠ABF=∠C．
又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90°，
∴FB是⊙O的切线．
（3）由（1）得AN=EN，AM=EM，∠AMN=∠EMN，
又∵AN ∥ ME，
∴∠ANM=∠EMN，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AN=AM，
∴AM=ME=EN=AN．
∴四边形AMEN是菱形．
∵cos∠ABD=
3
5 ，∠ADB=90°，
∴
BD
AB =
3
5 ．
设BD=3x，则AB=5x，
由勾股定理AD=
(5x) 2 - (3x) 2 =4x；
∵AD=12，
∴x=3，
∴BD=9，AB=15．
∵MB平分∠AME，
∴BE=AB=15，
∴DE=BE-BD=6．
∵ND ∥ ME，
∴∠BND=∠BME．
又∵∠NBD=∠MBE，
∴△BND ∽ △BME．
∴
ND
ME =
BD
BE ．
设ME=x，则ND=12-x，
12-x
x =
9
15 ，解得x=
15
2 ．
∴S=ME•DE=
15
2 ×6=45．
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