已知函数f(x)=x^2-3过点A（2,t）,存在与曲线y=x[f(x)-9]相切的3条切线,求实数t的取值范围
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原题是 :已知函数f(x)=x^2-3,过点A(2,t)存在与曲线y=x[f(x)-9]相切的3条切线,求实数t的取值范围.

y=x[f(x)-9]=x[x^2-3-9]=x^3-12x

即 y=x^3-12x

设过A的曲线的切线的切点P(a,a^3-12a)

y‘=3x^2-12,在P处切线斜率k=3a^2-12

切线方程:y-(a^3-12a)=(3a^2-12)(x-a)

它过A(2,t)得 t-(a^3-12a)=(3a^2-12)(2-a)

整理得:2a^3-6a^2+24+t=0

设g(a)=2a^3-6a^2+24+t

则t可取的充要条件是 :函数g(a)有3个零点.

g'(a)=6a^2-12a^2=6a(a-2)

可得g(a)有两个极值点a=0和a=2

g(0)=t+24,g(2)=t+16

三次函数g(a)有3个零点的充要条件是 :

g(0)g(2)

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