若f（x）在[a,b]区间连续,【F(x)=[a,x定积分区间]f（x）d(x)+[b,x定积分区间]f（x）d(x)】
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F(x)=∫(a-->x)f(t)dt+∫(b-->x)f(t)dt在区间[a,b]连续

证明思路是证明每一项都在[a,b]连续则它们之和连续

对任意的x0∈[a,b],只要满足lim(x-->x0)∫(a-->x)f(t)dt=∫(a-->x0)f(t)dt

即lim(x-->0)∫(a-->x)f(t)dt-∫(a-->x0)f(t)dt=0 即可

上式等于lim(x-->x0)∫(x0-->x)f(t)dt

因为f(x)连续,根据积分中值定理存在ξ介于x与x0之间使得∫(x0-->x)f(t)dt=f(ξ)(x-x0)---》0

即=∫(a-->x)f(t)dt在x0连续,由于x0的任意性知道在[a,b]连续,类似证明另外一个

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