在做题之前,有个知识点要讲一下,有一个角是30度的直角三角形,30度所对的边是斜边的一半,下面好几题都要用到这个.
（1）a/b+a/c=(b+c)/(b+c-a)
a(b+c)/bc=(b+c)/(b+c-a)
bc=ab+ac-a^2
a^2-ab-ac+bc=0
a(a-b)-c(a-b)=0
(a-b)(a-c)=0
a=b或a=c
所以一定是等腰三角形.
（楼上有人说是等边,其实可以不用加进去,因为等边也是等腰的一种）
（2）延长DC与AB的延长线相交于点E,则∠E=30°,
在Rt△BCE中,BE=1,∠E=30°,可得：CE=2,则DE=4
在Rt△ADE中,DE=4,设AD=x,因为∠E=30°,所以AE=2x,
由勾股定理：x^2+16=4x^2,可得：AD=x=(4√3)/3；
最后一步：在Rt△ADC中,由勾股定理：AC^2=16/3+4=28/3
所以AC=(2√21)/3
（3）设PB=x,PC=y,则x+y=2,
在Rt△PEB中,∠BPE=30°,所以BE=PB/2=x/2,由勾股定理可得：PE=(√3)x/2；
同理在Rt△PFC中,可得：PF=(√3)y/2,
所以：PE+PF=(x+y)*(√3)/2,又因为x+y=2,
所以：PE+PF=√3
（4）知识点：三角形中,角平分线的交点是该三角形内切圆的圆心；即该点到三边距离相等；
该题中,O是两个角的角平分线,OD=3,所以点O到AB、AC的距离也都是3,
连接AO,过O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,则OE=OF=OD=3,
S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO
=AB*OE/2+AC*OF/2+BC*OD/2
∵ OE=OF=OD=3,
∴ S△ABC=3(AB+AC+BC)/2
∵ △ABC的周长为21,即AB+AC+BC=21, （咋又改成21了,俺又掉了几位）
∴ S△ABC=3*21/2=31.5
（5）在Rt△ACF中,∠ACF=30°,AC=10,所以AF=5,由勾股定理可得：CF=5√3；
在Rt△BCE中,∠BCE=60°,所以∠CBE=30°,而斜边BC=10,所以：CE=5；
所以：EF=CF-CE=5√3-5
（6）类似（4）,三角形中,到各边距离相等的点是其内切圆的圆心；
取点P,过P分别作AB、BC、AC这三边的垂线：PD、PE、PF,显然PD=PE=PF；
则S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC
=AB*PD/2+BC*PE/2+AC*PF/2
∵ AB=7,BC=24,AC=25；PD=PE=PF；
∴ S△ABC=7PD/2+24PD/2+25PD/2
=28PD
而对于△ABC,AB=7,BC=24,AC=25,易验证得：AC^2=AB^2+BC^2
即△ABC是一个直角三角形,所以S△ABC=AB*BC/2=84
所以：28PD=84,得：PD=3
所以所求距离为3
希望能帮到你,如果不懂,请Hi我,祝学习进步!
