在△ABC中,a,b,c为三条边的长,S表示△ABC的面积,求证：a²+b²+c²≥4(根
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因为 a^2+b^2≥ 2ab ≥ 2absin(C+π/6) = √3*absinC+ab*cosC,

所以 a^2+b^2-ab*cosC≥ √3*absinC,

所以 2(a^2+b^2-ab*cosC)≥ 2√3*absinC,

也即 a^2+b^2+(a^2+b^2-2ab*cosC)≥ 4√3*(absinC/2),

所以 a^2+b^2+c^2≥ 4√3S.

由上面的分析可以看出,等号成立当且仅当

a^2+b^2＝2ab 和 2ab＝2absin(C+π/6)同时成立,

前者意味着 a=b,后者意味着 sin(C+π/6)=1,即C=π/3,此时是等边三角形.

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