令T=1+2+2²+2³+……+2^2004,则
2T=2+2²+2³+2^4+……+2^2004+2^2005
∴T=2T-T
=(2+2²+2³+2^4+……+2^2004+2^2005)-(1+2+2²+2³+……+2^2004)
=(2-1)+(2²-2²)+(2³-2³)+(2^4-2^4)+……+(2^2004-2^2004)+2^2005-1
=2^2005-1
∴1+2+2²+2³+……+2^2004=2^2005-1
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