已知函数f（x）=x（1nx+1）（x＞0）．
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（I）求导函数可得：f′（x）=lnx+2（x＞0）

令f′（x）＞0可得x＞e -2；令f′（x）＜0可得0＜x＜e -2，

∴函数在（0，e -2）上单调减，在（e -2，+∞）上单调增

∴x=e -2时，函数f（x）取到最小值，最小值为-e -2；

（II）设F（x）=ax 2+f′（x）=ax 2+lnx+2，则F′（x）=2ax+

1

x =

2a x 2 +1

x （x＞0）

当a≥0时，∵x＞0，∴F′（x）＞0恒成立，∴函数F（x）单调增区间为（0，+∞）；

当a＜0时，∵x＞0，令F′（x）＞0，可得 0＜x＜

-

1

2a ；令F′（x）＞0，可得 x＞

-

1

2a

∴函数F（x）单调增区间为 (0，

-

1

2a ) ，单调减区间为 (

-

1

2a ，+∞) ；

（III）证明：y=f′（x）的定义域为（0，+∞）

∵f″（x）=

1

x ＞0，∴y=f′（x）在（0，+∞）上为增函数

∴0＜f′（x 2）＜k＜f′（x 1）

∴ 0＜

1

x 2 ＜k＜

1

x 1

∴ x 1 ＜

1

k ＜ x 2 ．

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