边长为1的菱形ABCD中,角ABC=2π/3,若E是线段BC延长线上任意一点,AE交CD于点F,则向量BF与向量ED夹角
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如图所示,既然你是高三的,我就直接上坐标系了.
设B为坐标原点,C(1,0),E(a,0),其中a>1
因为ABCD为菱形,∠ABC=120°,所以A(-1/2,√3/2),D(1/2,√3/2)
直线AE所在的方程为y=-√3(x-a)/(2a+1),直线CD所在的方程为y=-√3x+√3
联立两式解得F点坐标为((a+1)/(2a),√3(a-1)/(2a))
所以向量BF=((a+1)/(2a),√3(a-1)/(2a)),向量ED=(1/2-a,√3/2)
向量BF的模|BF|=√(a²-a+1)/a,向量ED的模|ED|=√(a²-a+1)
故向量BF与向量ED夹角的余弦值
cosθ=BF•ED/(|BF||ED|)=[(a+1)/(2a)*(1/2-a)+√3(a-1)/(2a)*√3/2]/[(a²-a+1)/a]
=[(-a²+a-1)/2a]/[(a²-a+1)/a]=-1/2
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