一个静电场的物理赛题是这样的,在一个球面上,电荷分布不均匀,半径为R,一半带正电荷,一半为负电荷,已知极角θ处的电荷面密
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如图,由于小面元的面积可以写为△S=R^2△Ω,这里Ω是空间角

则对于这个小面元上的电荷就是相应的体积内的的电荷,记OA=r1,OB=r2

V=1/2(S1+S2)(r1-r2)

这样对于偏移后的电荷密度为

σ=1/2ρ(S1+S2)(r1-r2)/S1=1/2ρ(r1^2+r2^2)(r1-r2)/r1^2≈ρ(r1-r2)

又有

(1)(r1cosθ-a)^2+(r1sinθ)^2=R^2;

(2)(r2cosθ+a)^2+(r2sinθ)^2=R^2.

(1)-(2),得

r1-r2=2acosθ

这样就有

σ≈ρ2acosθ

注：这里用到a足够小时,r1≈r2≈R,故(r1^2+r2^2)/r1^2≈2.

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