已知函数f（x）=2ex-x（1）求f（x）在区间[-1，m]（m＞-1）上的最小值；（2）求证：对m＞ln12，x＞l
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解题思路：（1）求出f（x）的导函数，令导函数为0求出根，通过讨论根与定义域的关系，判断出函数的单调性，求出函数的最小值．

（2）将不等式变形，构造新函数g（x），求出g（x）的导函数，通过判断导函数的符号判断出其单调性，进一步求出其最小值，得证．

解（1）当f'（x）=2ex-1=0，

解得x＝ln

1

2

当m≤ln

1

2时，f'（x）＜0，f（x）在[-1，m]上单调减，

则f（x）的最小值为f（m）=2em-m

当m＞ln

1

2时，(−1，ln

1

2)上递减，(ln

1

2，+∞)上递增，

则f（x）的最小值为f(ln

1

2)＝1−ln

1

2

（2）g(x)＝2ex−

1

2x2−2−(1+ln2)x

g′（x）=2ex-x-1-ln2=f（x）-1-ln2

由（1）知当m＞ln

1

2时，f（x）的最小值为f(ln

1

2)＝1−ln

1

2＝1+ln2，

所以当x＞ln2时g′（x）＞0，g（x）在（ln2，+∞）上单调递增，

所以g(x)＞g(ln2)＝2−

3

2(ln2)2−ln2＞0

所以2ex−

1

2x2−2＞(1+ln2)x

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 求函数在区间上的最值，常利用导函数判断出函数的单调性，进一步求出函数的最值；证明不等式问题常通过构造新函数，转化为求函数的最值问题．

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