已知λ>0,对所有非负实数x,y,均使不等式x^2+y^2+λxy>=c(x+y)^2成立的最大常数c=
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这个题本身出得有问题,对于非负实数X.Y,如果当X=Y=0,不等式成为0≥c×0,那么C可以取到无穷大.
若X=0,Y≠0时,不等式变成 y^2≥c·y^2,此时c≤1,那么C最大值为1.
若X≠0,Y=0时,和上面一样,C≤1.C最大值为1.
若X,Y均不等于0时,不等式转化为c≤ [ x^2+y^2+λxy]/(x+y)^2= [ x^2+y^2+λxy+2xy-2xy]/(x+y)^2
=1+ (λ-2)xy/(x+y)^2,当λ=2时,C≤1,C的最大值还是1；若λ≠2时,设f(x,y)=1+ (λ-2)xy/(x+y)^2,根据多元函数求极值的方法,令f(x.y)对x求导等于0,再令f(x,y)对y求导等于0,可以求出当x=y时,f(x,y)取得极值,此时C≤1+（λ-2）xy/(x+y)^2=1+(λ-2)x^2/4x^2=(λ+2)/4,c的最大值为(λ+2)/4；
如果你没学过多元函数求极值的方法,还可以均值不等式(x+y)^2=x^2+2xy+y^2≥2xy+2xy=4xy,取等号的条件是x=y,带入结果一样.
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