.已知实数x,y满足{x-y≤0,x+y-5≥0,y-3≤0},若不等式a(x^2+y^2)≤(x+y)^2,恒成立,则
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要使不等式a(x^2+y^2)≤(x+y)^2恒成立,转化为不等式a≤(x+y)^2/(x^2+y^2)恒成立,即求 (x+y)^2 / (x^2+y^2) 的最小值,令Y= (x+y)^2 / (x^2+y^2),化为 Y=1 + 2/(x/y+y/x)

再令k=y/x得,Y=1+2/(k+1/k).由已知所给约束条件可得目标函数y=kx中k取值范围为

1≤k≤3/2,又由对勾函数单调性知,(k+1/k)在1≤k≤3/2上为单增函数,所以(k+1/k)在k=3/2时取得最大值,所以Y=1+2/(k+1/k)最小值为25/13,即a的最大值是25/13.

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