在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高．P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，我

在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高．P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，我们可以得到结论：

p

a

h

a

+

p

b

h

b

+

p

c

h

c

＝1

试通过类比，写出在空间中的类似结论

p

a

h

a

+

p

b

h

b

+

p

c

h

c

+

p

d

h

d

＝1

p

a

h

a

+

p

b

h

b

+

p

c

h

c

+

p

d

h

d

＝1

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解题思路：本题是一道有关三角形与三棱锥的归纳类比题，这类题的特点是：往往并不需要证明结论，主要考查考生的创新精神，是否会观察，会抽象概括，会用类比的方法得出新的一般性的结论．这类题目经常出现在高考试题中，经常以数列或解析几何或立体几何等知识为载体．

设ha，hb，hc，hd三棱锥A-BCD四个面上的高．

P为三棱锥A-BCD内任一点，

P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd
我们可以得到结论：

pa

ha+

pb

hb+

pc

hc+

pd

hd＝1．

VP-ABC+VP-BCD+VP-CDA+VP-DAB=V，V=VD-ABC=VA-BCD=VB-CDA=VC-DAB，

即

VP−ABC

VD−ABC+

VP−BCD

VA−BCD+

VP−CDA

VB−CDA+

VP−DAB

VC−DAB＝1，

1

3SABC•pd

1

3SABC•hd+

1

3SBCD•pa

1

3SBCD•ha+

1

3SCDA•pb

1

3SCDA•hb+

1

3SDAB•pc

1

3SDABhc＝1，

即

pa

ha+

p

点评：

本题考点： 归纳推理．

考点点评： 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．

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