1..化椭圆方程3x^2+2y^2=1为标准方程:
x^2/(1/3)+y^2/(1/2)=1
知其焦点在y轴上,且
a^2=1/2,b^2=1/3,
则c^2=a^2-b^2=1/2-1/3=1/6
c=√6/6,2c=2√6/6
故椭圆3x^2+2y^2=1的焦距是2√6/6
2.由已知点A(-4,0),B(4,0),
动点P满足|PA|+|PB|=8,
得P点的轨迹方程为:x=0.
3.由椭圆标准方程:
x^2/16+y^2/12=1 (1)
知其焦点在x轴上,且
a^2=16,b^2=12,
则c^2=a^2-b^2=16-12=4,c=2
得两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),
直线l过F1且与椭圆交于点A,B,
设直线方程为:y-0=k(x+2)
y=kx+2k (2)
(2)代入(1)得
x^2/16+(kx+2k )^2/12=1
整理得3x^2+20k^2+(16k^2-48)=0
直线l过F1且与椭圆交于点A,B
有△=25k^4-12k^2+36>0
4.由椭圆标准方程:
x^2/4+y^2=1
知其焦点在x轴上,且
a^2=4,b^2=1
则c^2=a^2-b^2=4-1=3,c=√3
得两个焦点分别为F1(-√3,0),F2(√3,0),
设与椭圆x^2/4+y^2=1有相同的焦点的椭圆的方程为:
x^2/(b^2+3)+y^2/b^2=1
又过点P(2,1)
有4^2/(b^2+3)+1^2/b^2=1
16/(b^2+3)+1/b^2=1
b^4-14b^2-3=0,
得b^2=7+2√13,
或b^2=7-2√13
故与椭圆x^2/4+y^2=1有相同的焦点,且过点P(2,1)的椭圆的方程为:
x^2/(10+2√13)+y^2/(7+2√13)=1
或x^2/(10-2√13)+y^2/(7+2√13)=1 .
