在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C 1 ：2x 2 -y 2 =1．
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（1）双曲线C 1：
x 2
1
2 -
y 2
1 =1 左顶点A（-
2
2 ，0 ），
渐近线方程为：y=±
2 x．
过A与渐近线y=
2 x平行的直线方程为y=
2 （x+
2
2 ），即y=
2 x+1 ，
所以
y=-
2 x
y=
2 x+1 ，解得
x=-
2
4
y=
1
2 ．
所以所求三角形的面积为S=
1
2 |OA||y|=
2
8 ．
（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，
因直线PQ与已知圆相切，故
|b|
2 =1 ，
即b 2=2，由
y=kx+b
2x 2 -y 2 =1 ，
得x 2-2bx-b 2-1=0，
设P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），则
x 1 + x 2 =2b
x 1 x 2 =-1- b 2 ，
又y 1y 2=（x 1+b）（x 2+b）．
所以
OP •
OQ =x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2+b（x 1+x 2）+b 2
=2（-1-b 2）+2b 2+b 2
=b 2-2=0．
故PO⊥OQ．
（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=
2
2 ，则O到直线MN的距离为
3
3 ．
当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞
2
2 ），
则直线OM的方程为y= -
1
k x ，由
y=kx
4 x 2 + y 2 =1 得
x 2 =
1
4+ k 2
y 2 =
k 2
4+ k 2 ，
所以 |ON| 2 =
1+ k 2
4+ k 2 ．
同理 |OM| 2 =
1+ k 2
2 k 2 -1 ，
设O到直线MN的距离为d，
因为（|OM| 2+|ON| 2）d 2=|OM| 2|ON| 2，
所以
1
d 2 =
1
|OM| 2 +
1
|ON| 2 =
3+ 3k 2
k 2 +1 =3，
即d=
3
3 ．
综上，O到直线MN的距离是定值．
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