如图，已知抛物线y＝12x2+bx+c与x轴交于A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点．
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解题思路：（1）利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出；（2）利用△CEF的面积是△BEF面积的2倍，可得CF=2FB．再根据EF∥AC，可得AEEB＝CFFB＝21．即可得出．（3）由抛物线的方程y＝12x2+32x−2．令x=0，C（0，-2）．可得直线AC的方程为：x−4+y−2＝1．设直线PQ的方程为：x=t（-4≤t≤0），由于PQ∥y轴．可得|PQ|=yQ-yP．再利用二次函数的单调性即可得出．
（1）∵抛物线与x轴交于A（-4，0）和B（1，0），
∴
−4+1＝−
b
1
2
−4×1＝
c
1
2，解得b＝
3
2，c=-2．
∴抛物线的方程为y＝
1
2x2+
3
2x−2．
（2）如图所示，
∵△CEF的面积是△BEF面积的2倍，
∴CF=2FB，
∵EF∥AC，
∴[AE/EB＝
CF
FB＝
2
1]．
∵A（-4，0），B（1，0）．
∴xE-（-4）=2（1-xE），解得xE=−
2
3．
∴E(−
2
3，0)．
（3）由抛物线的方程为y＝
1
2x2+
3
2x−2．
令x=0，得y=-2．即（0，-2）．
∴直线AC的方程为：
x
−4+
y
−2＝1，化为x+2y+4=0．
设直线PQ的方程为：x=t（-4≤t≤0），
∵PQ∥y轴．
∴|PQ|=yQ-yP
=(−
1
2t−2)-(
1
2t2+
3
2t−2)
=−
1
2t2−2t
=−
1
2(t+2)2+2，
当t=-2时，|PQ|取得最大值2．
此时yP=
1
2×(−2)2+
3
2×(−2)−2=-3，∴P（-2，-3）．
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查了考查了一元二次方程根与系数的关系、平行线分线段成比例定理、三角形的面积计算公式、二次函数的单调性、直线的方程等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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