(1)第一题:门就是不开,不管她多么用力推.选择shouldn't说不通啊,选shouldn‘t的话句子的意思是"门应该不会开",显然不合适.
will有一种用法:用于对一个坏习惯或无生命物体进行批评.比如:Whatever I do, my car won't start first time on cold mornings.(不论我做什么,我的车第一次就是不开.)
(2)第二题:既然没人给他帮助,那么他肯定是靠自己做了研究.can用来表达猜测,意思是可能;must用来表达猜测,意思是肯定,一定.显然后者更符合上下文语境.
(3)你的问题属于情态动词用法问题,建议看看语法书的情态动词这一部分.有的情态动词用法很多的.