微分学部分综合练习
一、单项选择题
1．函数 的定义域是（ ）．
A． B． C． D． 且
分析;求定义域得关键是记住求定义域的三条原则!
答案选D,作业四的第一小题这类型要会做.
2．下列各函数对中,（ ）中的两个函数相等．
A． , B． , + 1
C． , D． ,
分析：解答本题的关键是要注意先看定义域,后看对应关系,只有定义域相同时,才能化简后再看对应关系.只有两者都相同,两个函数猜是相同的函数.
3．设 ,则 （ ）．
A． B． C． D．
、
4．下列函数中为奇函数的是（ ）．
A． B． C． D．
分析：注意利用奇偶函数的运算性质（见讲课笔记）,然后利用排除法知,答案是 C.
5．已知 ,当（ ）时, 为无穷小量.
A. B. C. D.
分析： ,故选A.考试当然可以改成
,本题涉及到了重要极限1.
6．当 时,下列变量为无穷小量的是（ ）
A． B． C． D．
分析： ,由“无穷小量与有界变量的乘积,结果是无穷小量”这一性质得出结果,答案选D.
7．函数 在x = 0处连续,则k = (c)．
A．-2 B．-1 C．1 D．2
8．曲线 在点（0, 1）处的切线斜率为（ ）．
A． B． C． D．
分析：本题考导数的几何意义,导数是曲线切线的斜率,求切线的斜率就是求导数.
9．曲线 在点(0, 0)处的切线方程为（ ）．
A. y = x B. y = 2x C. y = x D. y = -x
分析：
记住点斜式直线方程： ,作业一有着类题要会做.
10．设 ,则 （ ）．
A． B． C． D．
11．下列函数在指定区间 上单调增加的是（ ）．
A．sinx B．e x C．x 2 D．3 - x
12．设需求量q对价格p的函数为 ,则需求弹性为Ep=（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
1．函数 的定义域是．
分析：分段函数的定义域就是把连段x的取值并起来.
2．函数 的定义域是．
分析：
3．若函数 ,则 ．
本题是重点考题类型.
4．设 ,则函数的图形关于 对称．
分析：要知道奇偶函数的图像特征（见讲课笔记）,本题是偶函数.
5． .
分析： 注意与作业题的区别
6．已知 ,当 时, 为无穷小量．
分析：同前单选题5
7. 曲线 在点 处的切线斜率是．
分析：求斜率就是求导数
8．函数 的驻点是 .
分析：导数为零的点称函数的驻点,
9. 需求量q对价格 的函数为 ,则需求弹性为 ．
三、计算题（通过以下各题的计算要熟练掌握导数基本公式及复合函数求导法则!这是考试的10分类型题）
1．已知 ,求 ． 2．已知 ,求 ．
3．已知 ,求 ． 4．已知 ,求 ．
5．已知 ,求 ； 6．设 ,求
7．设 ,求 ． 8．设 ,求 ．
四、应用题（以下的应用题必须熟练掌握!这是考试的20分类型题）
1．设生产某种产品 个单位时的成本函数为： （万元）,
求：（1）当 时的总成本、平均成本和边际成本；
（2）当产量 为多少时,平均成本最小?
2．某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为 （ 为需求量, 为价格）．试求：
（1）成本函数,收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大?
3．某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元）,单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件）,试求：
（1）产量为多少时可使利润达到最大? （2）最大利润是多少?
4．某厂每天生产某种产品 件的成本函数为 （元）.为使平均成本最低,每天产量应为多少?此时,每件产品平均成本为多少?
5．已知某厂生产 件产品的成本为 （万元）．问：要使平均成本最少,应生产多少件产品?最低的平均成本是多少?
参考解答
一、单项选择题
1．D 2．D 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．A 9．A 10．B 11．B 12．B
二、填空题
1． 2．(-5, 2 ) 3． 4．y轴 5．1 6． 7． 8． 9．
三、计算题
1．
2．解
3．解
4．
5．因为
所以
6．因为 所以
7．因为
所以
8．因为
所以
四、应用题
1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：
,
所以,
,
（2）令 ,得 （ 舍去）
因为 是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当 20时,平均成本最小.
2．解 （1）成本函数 = 60 +2000．
因为 ,即 ,
所以 收入函数 = =( ) = ．
（2）利润函数 = - = -(60 +2000) = 40 - -2000
且 =(40 - -2000 =40- 0.2
令 = 0,即40- 0.2 = 0,得 = 200,它是 在其定义域内的唯一驻点．
所以, = 200是利润函数 的最大值点,即当产量为200吨时利润最大．
3．解 （1）由已知
利润函数
则 ,令 ,解出唯一驻点 .
因为利润函数存在着最大值,所以当产量为250件时可使利润达到最大,
（2）最大利润为
（元）
4．解 因为
令 ,即 =0,得 =140, = -140（舍去）.
=140是 在其定义域内的唯一驻点,且该问题确实存在最小值.
所以 =140是平均成本函数 的最小值点,即为使平均成本最低,每天产量应为140件. 此时的平均成本为 （元/件）
5．解 （1） 因为 = = , = =
令 =0,即 ,得 , =-50（舍去）,
=50是 在其定义域内的唯一驻点．
所以, =50是 的最小值点,即要使平均成本最少,应生产50件产品．
（2）
积分学部分综合练习题
一、单选题
1．下列等式不成立的是（ ）．正确答案：A
A． B．
C． D．
分析;解答本题的关键是记住几类常见的凑微分（见讲课笔记）
2．若 ,则 =（ ）. 正确答案：D
A. B. C. D.
注意：主要考察原函数和二阶导数,但考试关键是要知道f(x)怎么求,即f(x)的不定积分是f(x)的全体原函数,如下面的第4题.
3．下列不定积分中,常用分部积分法计算的是（ ）．正确答案：C
A． B．
C． D．
4. 若 ,则f (x) =（ ）．正确答案：C
A． B．- C． D．-
5. 若 是 的一个原函数,则下列等式成立的是( )．正确答案：B
A． B．
C． D．
6．下列定积分中积分值为0的是（ ）．正确答案：A
A． B．
C． D．
7．下列定积分计算正确的是（ ）．正确答案：D
A． B．
C． D．
分析：以上两题主要考察“奇函数在对称区间的定积分知为0”,这一点要记住!
8．下列无穷积分中收敛的是（ ）． 正确答案：C
A． B． C． D．
9．无穷限积分 =（ ）．正确答案：C
A．0 B． C． D.
二、填空题
1． ． 应该填写：
注意：主要考察不定积分与求导数（求微分）互为逆运算,一定要注意是先积分后求导（微分）,还是先求导（微分）后积分.本题是先积分后微分,别忘了dx.
2．函数 的原函数是 ．应该填写：- cos2x + c
3．若 存在且连续,则 ． 应该填写：
注意：本题是先微分再积分最后在求导.
4．若 ,则 . 应该填写：
5．若 ,则 = . 应该填写：
注意：
6． . 应该填写：0
注意：定积分的结果是“数值”,而常数的导数为0
7．积分 ． 应该填写：0
注意：奇函数在对称区间的定积分为0
8．无穷积分 是． 应该填写：收敛的
,故无穷积分收敛.
三、计算题（以下的计算题要熟练掌握!这是考试的10分类型题）
1． = =
2．计算
3．计算
4．计算
5．计算
= = = =
6．计算 =
7． = = =
8． = - = =
9．
= = ＝ =1
注意：熟练解答以上各题要注意以下两点
（1）常见凑微分类型一定要记住
（2）分部积分： ,常考有三种类型要清楚.
四、应用题（以下的应用题必须熟练掌握!这是考试的20分类型题）
1．投产某产品的固定成本为36(万元),且边际成本为 =2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低.
当产量由4百台增至6百台时,总成本的增量为
= = 100（万元）
又
解得 . x = 6是惟一的驻点,而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.
2．已知某产品的边际成本 (x)=2（元/件）,固定成本为0,边际收益 (x)=12-0.02x,问产量为多少时利润最大?在最大利润产量的基础上再生产50件,利润将会发生什么变化?
因为边际利润 =12-0.02x –2 = 10-0.02x
令 = 0,得x = 500；x = 500是惟一驻点,而该问题确实存在最大值.
所以,当产量为500件时,利润最大.
当产量由500件增加至550件时,利润改变量为
=500 - 525 = - 25 （元）
即利润将减少25元.
3．生产某产品的边际成本为 (x)=8x(万元/百台),边际收入为 (x)=100-2x（万元/百台）,其中x为产量,问产量为多少时,利润最大?从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化?
(x) = (x) - (x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x
令 (x)=0, 得 x = 10（百台）；又x = 10是L(x)的唯一驻点,该问题确实存在最大值,
故x = 10是L(x)的最大值点,即当产量为10（百台）时,利润最大.
又 △
即从利润最大时的产量再生产2百台,利润将减少20万元.
4．已知某产品的边际成本为 (万元/百台), 为产量(百台),固定成本为18(万元),求最低平均成本.
因为总成本函数为 =
当 = 0时,C(0) = 18,得 c =18； 即 C( )=
又平均成本函数为
令 , 解得 = 3 (百台) , 该题确实存在使平均成本最低的产量.
所以当q = 3时,平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台)
5．设生产某产品的总成本函数为 (万元),其中x为产量,单位：百吨．销售x吨时的边际收入为 （万元/百吨）,求：(1) 利润最大时的产量；
(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨,利润会发生什么变化?
(1) 因为边际成本为 ,边际利润 = 14 – 2x
令 ,得x = 7 ； 由该题实际意义可知,x = 7为利润函数L(x)的极大值点,也是最大值点. 因此,当产量为7百吨时利润最大.
(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时,利润改变量为 = - 1（万元）
即利润将减少1万元.
线性代数部分综合练习题
一、单项选择题
1．设A为 矩阵,B为 矩阵,则下列运算中（ ）可以进行.
正确答案：A
A．AB B．ABT C．A+B D．BAT
分析：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数,乘法才有意义.
2．设 为同阶可逆矩阵,则下列等式成立的是（ ） 正确答案：B
A. B.
C. D.
注意：转置矩阵、逆矩阵的性质要记住
3．以下结论或等式正确的是（ ）． 正确答案：C
A．若 均为零矩阵,则有 B．若 ,且 ,则
C．对角矩阵是对称矩阵 D．若 ,则
4．设 是可逆矩阵,且 ,则 （ ）. 正确答案：C
A. B. C. D.
注意：因为A(I+B)=I,所以 I+B
5．设 , , 是单位矩阵,则 ＝（ ）．
正确答案：D
A． B． C． D．
6．设 ,则r(A) =（ ）．正确答案：C
A．4 B．3 C．2 D．1
,故秩(A)=2
7．设线性方程组 的增广矩阵通过初等行变换化为 ,则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）正确答案：A
A．1 B．2 C．3 D．4
分析：自由未知量的个数=n（未知量个数）-秩（A）=4-3=1,
考试要直接会用眼看出来.
8．线性方程组 解的情况是（ ）．正确答案：A
A. 无解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解
注意：化成阶梯型矩阵后,最后一行出现矛盾方程“0=K”就无解.
9．设线性方程组 有无穷多解的充分必要条件是（ ）．
正确答案：D
A． B． C． D．
注意：线性方程组解得情况判定定理在理解的基础上要背下来.
10. 设线性方程组 有唯一解,则相应的齐次方程组 （ ）．
A．无解 B．有非零解 C．只有零解 D．解不能确定
正确答案：C
注意： 有唯一解,说明
但要注意：若AX=0只有唯一零解,而AX=b可能无解（或说解不确定）
二、填空题
1．若矩阵A = ,B = ,则ATB= ．应该填写：
2．设 均为 阶矩阵,则等式 成立的充分必要条件是 . 应该填写： 是可交换矩阵或AB=BA
3．设 ,当 时, 是对称矩阵. 应该填写：0
注意：对称矩阵元素的分布关于主对角线对称,所以对称阵是可以看出来的.
4．设 均为 阶矩阵,且 可逆,则矩阵 的解X= ．
应该填写：
5．若线性方程组 有非零解,则 ．应该填写：-1
,有非零解.
6．设齐次线性方程组 ,且秩(A) = r < n,则其一般解中的自由未知量的个数等于 ．应该填写：n – r
注意：关键是由 要看出未知量的个数是n
7．齐次线性方程组 的系数矩阵为 则此方程组的一般解为 .
方程组的一般解为 (其中 是自由未知量)
三、计算题（以下的各题要熟练掌握!这是考试的15分类型题）
1．设矩阵A = ,求逆矩阵 ．
因为 (A I )=
所以 A-1=
注意：本题也可改成如下的形式考：
例如 ：解矩阵方程AX=B,其中
, ,答案：
又如：已知 , ,求
2．设矩阵A = ,求逆矩阵 ．
因为 , 且
所以
3．设矩阵 A = ,B = ,计算(BA)-1．
因为BA= =
(BA I )=
所以 (BA)-1=
4．设矩阵 ,求解矩阵方程 ．
因为 , 即
所以X = = =
5．求线性方程组 的一般解．
因为
所以一般解为 （其中 , 是自由未知量）
6．求线性方程组 的一般解．
所以一般解为 （其中 是自由未知量）
7．设齐次线性方程组 ,问l取何值时方程组有非零解,并求一般解.
因为系数矩阵A =
所以当l = 5时,方程组有非零解. 且一般解为 （其中 是自由未知量）
8．当 取何值时,线性方程组 有解?并求一般解.
因为增广矩阵
所以当 =0时,线性方程组有无穷多解
且一般解为 是自由未知量〕
这类题也有如下的考法：当 为何值时,线性方程组
有解,并求一般解.
9． 为何值时,方程组
有唯一解,无穷多解,无解?
当 且 时,方程组无解；
当 , 时方程组有唯一解；
当 且 时,方程组有无穷多解.
