f(x)=√(x²+1)+√[(x-12)²+16]
=√[(x-0)²+(0-1)²]+√[(x-12)²+(0-4)²]
设P(x,0) A(0,1) B(12,4)
则前一个根号就是|PA| ,后一个根号是|PB|
题意转化为x轴上的动点P,与两个定点A和B连线段的长度之和的取值范围
只需考察|PA|+|PB|的最值
易知|PA|+|PB|无最大值
下面计算|PA|+|PB|的最小值
A(0,1)关于x轴的对称点为A' (0,-1)
则|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|=√(12²+5²)=13
即|PA|+|PB|最小值为13
且取得这个最小值时P点是直线A'B与x轴的交点
所以值域为[13,+∞)
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