给定抛物线y²=4x,F是抛物线C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点设1,设直线l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程2,若FA=2BF,求直线l的方程
郭敦顒回答:
1,抛物线y²=4x为抛物线的标准方程y²=2px,p=2,焦点坐标为F(p/2,0),∴焦点坐标为F(1,0),
直线l过F,且斜率k=1,∴I的直线方程为:y-0=1•(x-1),y=x-1,
y=x-1代入y²=4x得,x²-2x+1=4x,x²-6x+1=0,
解得x1=3+2√2=5.8284271;x2=3-2√2=0.1715729,∴y1=2+2√2=4.8284271,y2=2-2√2=-0.8284271,
∴A点坐标为A(5.8284271,4.8284271),
B点坐标为B(0.1715729,-0.8284271),
设AB中点为Q,(5.8284271-0.1715729)/2+0.1715729=3,
(4.8284271+0.8284271)/2-0.8284271=2,
则Q点坐标为Q(3,2),
⊙Q半径r=AQ=(1/2)√[(5.8284271-3)²+(4.8284271-2)]=2
以AB为直径的圆⊙Q的方程是:(x-3)²+(y-2)²=4.
2,∵FA=2BF,设A点坐标为A(a,b),
1-(a-1)/2=(3-a)/2,则B点坐标为B((3-a)/2,-b/2),
∵抛物线的准线方程是:x=-P/2=-1,
FA= a+1,
BF=(3-a)/2+1,2BF=3-a+2=5-a,
∴a+1=5-a,2a=4,∴a=2,
∴A点坐标为A(2,b)代入y²=4x得,b²=8,∴b=2√2,将b=-2√2,舍去,∴A点坐标为A(2, 2√2);
B点坐标为B(1/2,-b/2),b=2√2代入-b/2得,-b/2=-√2,
∴B点坐标为B(1/2,-√2),
AB的直线方程按两点式有,(y-2√2)/(x-2)=[2-1/2]/(2√2+√2),
∴y-2√2=(1/2)(x-2)/√2=(1/4)(x-2)√2,
∴y=[√2)/4] x-(3/2)√2,
∴AB的直线方程即I的直线方程为y=[√2)/4] x-(3/2)√2.
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