给定抛物线y²=4x,F是抛物线C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点设1,设直线l的斜率为1,求以AB为直径的圆的
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郭敦顒回答:

1,抛物线y²=4x为抛物线的标准方程y²=2px,p=2,焦点坐标为F(p/2,0),∴焦点坐标为F(1,0),

直线l过F,且斜率k=1,∴I的直线方程为:y-0=1•(x-1),y=x-1,

y=x-1代入y²=4x得,x²-2x+1=4x,x²-6x+1=0,

解得x1=3+2√2=5.8284271;x2=3-2√2=0.1715729,∴y1=2+2√2=4.8284271,y2=2-2√2=-0.8284271,

∴A点坐标为A(5.8284271,4.8284271),

B点坐标为B(0.1715729,-0.8284271),

设AB中点为Q,(5.8284271-0.1715729)/2+0.1715729=3,

(4.8284271+0.8284271)/2-0.8284271=2,

则Q点坐标为Q(3,2),

⊙Q半径r=AQ=(1/2)√[(5.8284271-3)²+(4.8284271-2)]=2

以AB为直径的圆⊙Q的方程是:(x-3)²+(y-2)²=4.

2,∵FA=2BF,设A点坐标为A(a,b),

1-(a-1)/2=(3-a)/2,则B点坐标为B((3-a)/2,-b/2),

∵抛物线的准线方程是:x=-P/2=-1,

FA= a+1,

BF=(3-a)/2+1,2BF=3-a+2=5-a,

∴a+1=5-a,2a=4,∴a=2,

∴A点坐标为A(2,b)代入y²=4x得,b²=8,∴b=2√2,将b=-2√2,舍去,∴A点坐标为A(2, 2√2);

B点坐标为B(1/2,-b/2),b=2√2代入-b/2得,-b/2=-√2,

∴B点坐标为B(1/2,-√2),

AB的直线方程按两点式有,(y-2√2)/(x-2)=[2-1/2]/(2√2+√2),

∴y-2√2=(1/2)(x-2)/√2=(1/4)(x-2)√2,

∴y=[√2)/4] x-(3/2)√2,

∴AB的直线方程即I的直线方程为y=[√2)/4] x-(3/2)√2.

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