这是个经典问题,结论是不可能.我正好想过这个问题,所以积累了一些资料:-)和LZ分享一下~
如果学过实变函数的话,理解起来会简单一些.给LZ一本参考书：周民强《实变函数论》,北京大学出版社.此书第一章1.5节中“Borel集”一节的例11和例13合起来可以证明此结论.前者说开集上函数的连续点集为Gδ型集,后者说有理数集不是Gδ型集(其实可数集都不是Gδ型集),二者结合即可.另外,用Baire纲定理也可以证.
初等一些的方法也有(当然实数连续性是必然要用的),不过过程较长.比如可以用Baire纲定理证明的思想来证此题.给LZ贴个参考资料吧~其中的例2就是LZ的这个问题,那里给了比较初等的证明(第3页到第4页).
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