在三角形abc中,向量OA*sinA+向量OB*sinB+向量OC*sinC=O向量,则O为____心
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向量OA*sinA+向量OB*sinB+向量OC*sinC=O向量,则O为内心
此类问题有一个统一的解法,O为三角形内一点,必存在x,y,z使得
xOA+yOB+zOC=0,（这里的大写字母和0表示向量）
形式工整的结论有：O为内心、外心、垂心、中心,甚至还有费尔马点等等!
就拿O为内心为例(r为内切圆半径）
|OA|=r/(sinA/2),|OB|=r/(sinB/2),|OC|=r/(sinC/2)
OA,OB夹角为π-(A+B)/2=π/2+C/2,其余弦值为-sinC/2(其余同样有类似结果）
假设OC=αOA+βOB(*)
两边同乘以OA得
(r/sinA/2)(r/sinC/2)(-sinB/2)=α(r/sinA/2)^2
+β(r/sinB/2)(r/sinA/2)(-sinC/2)
即
-sinA/2sin^2B/2=αsinB/2sinC/2-βsinA/2sin^2C/2
(*)两边同乘以OB得
-sinB/2sin^2A/2=-αsinB/2sin^2C/2+βsinA/2sinC/2
再利用A+B+C=π就可解出
α=-sinA/sinC,β=-sinB/sinC
于是就有OAsinA+OBsinB+OCsinC=0
再由正弦定理
aOA+bOB+cOC=0
类似的推出
O为外心、（斜三角形的）垂心时的结论!
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