P是圆O外一点,PA切圆O于A,AB是圆O的直径,PB交圆O于C,若PA=2cm,角B=30°,求出图中阴影部分面积.
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根据切割鉴定理：
PA²=PC*PB （可通过△PAC∽△PBA证明）
则PB=PA²/PC=4,BC=PB-PC=4-1=3
∵ A 是切点,则OA⊥PA
∴AB²=PB²-PA²=15,AB=2√3,半径OA=√3
∵∠ACB=90° （直径上的圆周角为直角）
∴ AC=√(PA²-PC²)=√3
sin∠B=AC/AB=√3/(2√3)=1/2
∠B=30°,∠AOC=2∠B=60°
S扇形OAC=60/360*π*OA²=π/2
S△ABC=1/2*BC*AC=3√3/2
S△OAC=S△OBC=1/2S△ABC=3√3/4
S弓形AC=扇形OAC-S△OAC=π/2-3√3/4
S△PAB=1/2*AB*PA=√15
S△PAC=1/2*PC*AC=√3/2
好了,每部分的面积都有了,你看阴影是哪个部分,加减一下就行了.
S△PAB在圆外部分=S△PAC-S弓形AC=√3/2-(π/2-3√3/4)=5√3/4-π/2
S△PAB在圆内部分=S△ABC+S弓形AC=3√3/2+(π/2-3√3/4)=3√3/4+π/2
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