（2008•朝阳区一模）设函数f(x)＝23x3+12ax2+x，a∈R．
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解题思路：（1）先求f′（x）讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值．
（2）高次多项式函数的单调性，可以用导数的知识求解，要使f（x）在（0．+∞）内为增函数，只需在（0．+∞）内有
f′（x）=2a2+ax+1≥0即可，
f′（x）=2a2+ax+1，
（Ⅰ）由题意：f′（2）=8+2a+1=0
解得a＝−
9
2．（3分）
（Ⅱ）方程2a2+ax+1=0的判别式△=a2-8，
（1）当△≤0，即−2
2≤a≤2
2时，2a2+ax+1≥0，
f′（x）≥0在（0．+∞）内恒成立，此时f（x）为增函数；
（2）当△＞0，即a＜−2
2或a＞2
2时，
要使f（x）在（0．+∞）内为增函数，只需在（0．+∞）内有2a2+ax+1≥0即可，
设g（x）=2a2+ax+1，
由
g(0)＝1＞0
−
a
2×2＜0得a＞0，所．a＞2
2
由（1）（2）可知，若f（x）在（0．+∞）内为增函数，a的取值范围是[−2
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，已知函数的单调区间，我们可以研究字母的取值范围．这是逆向思维在解题中的使用．对于此类题，要注意分类讨论思想在解题中的广泛应用．
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