已知和相交于A、B两点，过A点作切线交于点 - 已解决

已知和相交于A、B两点，过A点作切线交于点E，连接EB并延长交于点C，直线CA交于点D，

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已知

和

相交于A、B两点，过A点作

切线交

于点E，连接EB并延长交

于点C，直线CA交

于点D，

（1）当点D与点A不重合时（如图1），证明：ED²=EB·EC;

（2）当点D与点A重合时（如图2），若BC=2，BE=6，求

的直径长.

（1）证明详见解析；(2)

试题分析：（1）连接 AB ，在 EA 的延长线上取点 F ，由弦切角定理可得∠ FAC ＝∠ ABC ，而∠ FAC ＝∠ DAE ，（对顶角）证得∠ ABC ＝∠ DAE ,然后内接四边形的性质证得∠ ABC ＝∠ ADE ,即得∠ DAE ＝∠ ADE .所以 EA ＝ ED ,由切割线定理可得

，即

(2)直线 CA 与⊙ O₂只有一个公共点，所以直线 CA 与⊙ O₂相切，由弦切角定理知：

然后证明

，即 AC 与 AE 分别为⊙ O₁和⊙ O₂的直径．最后根据切割线定理证得AE的长.

试题解析：(1)连接 AB ，在 EA 的延长线上取点 F ，如图①所示．

∵ AE 是⊙ O₁的切线，切点为 A ，

∴∠ FAC ＝∠ ABC, .∵∠ FAC ＝∠ DAE ，

∴∠ ABC ＝∠ DAE ,∵∠ ABC 是⊙ O₂内接四边形 ABED 的外角，

∴∠ ABC ＝∠ ADE ,∴∠ DAE ＝∠ ADE .∴ EA ＝ ED ,∵

,∴

(2)当点 D 与点 A 重合时，直线 CA 与⊙ O₂只有一个公共点，

所以直线 CA 与⊙ O₂相切．如图②所示，由弦切角定理知：

∴ AC 与 AE 分别为⊙ O₁和⊙ O₂的直径． 8分

∴由切割线定理知： EA²＝ BE · CE ，而 CB ＝2， BE ＝6，CE=8

∴ EA²＝6×8＝48， AE ＝

.故⊙ O₂的直径为

. 10分