设关于x的函数y=2cos2x-2acosx-（2a+1）的最小值为f（a）．
1个回答
解题思路：（1）由已知中函数y=2cos2x-2acosx-（2a+1）的解析式，利用余弦函数的值域为[-1，1]，可将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题，我们分a2≤-1，-1＜a2＜1，a2＞1，三种情况，分别求出函数y=2cos2x-2acosx-（2a+1）的最小值，即可得到f（a）的表达式（分段函数的形式）；（2）根据（1）中函数f（a）的表达式，我们根据分段函数分段处理的原则，分别构造f（a）=12的方程，在三种情况下，分别解方程求出满足条件的根，即可得到满足条件的x值，进而得到函数y的最大值．
（1）y=2（cosx-[a/2)2-
a2+4a+2
2]．
∵-1≤cosx≤1，
∴f(a)＝
1，(a≤−2)
−
a2+4a+2
2，(−2＜a＜2)
1−4a，(a≥2).
（2）当a≤-2时，f（a）=1，从而f（a）=[1/2]无解；
当-2＜a＜2时，由−
a2+4a+2
2＝
1
2得a2+4a-3=0，解之得a=-1或a=-3（舍去）；
当a≥2时，由1-4a=[1/2]得a=[1/8]（舍去）．
综上所述a=-1，此时有y=2（cosx+[1/2)2+
1
2]，
当cosx=1时，即x=2kπ（k∈Z）时，y有最大值为5．
点评：
本题考点： 三角函数的最值．
考点点评： 本题考查的知识点是三角函数的最值，二次函数在定区间的最值问题，分段函数，函数的值，是函数问题比较综合的考查，有一定的难度，其中（1）的关键是根据余弦函数的值域为[-1，1]，将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题，而（2）的关键是根据分段函数分段处理的原则，分类讨论解方程f（a）=12．
相关问题
