已知tanα,tanβ是x^2+px+q=0的两根,求sin^2(α+β)+psin(α+β)cos(α+β)+qcos
1个回答

由题意可得:

(1)tanα+tanβ=-P

(2)tanα×tanβ=Q ,

由(1)得到:

sinα/cosα+sinβ/cosβ=sin(α+β)/(cosαcosβ)=-P.

所以sin(α+β)=-p×cosαcosβ (3)

由(2)得到:

即sinαsinβ/(cosαcosβ)=Q,1-Q=(cosαcosβsinαsinβ)/(cosαcosβ)=cos(α+β)/(cosαcosβ)

所以cos(α+β)=(1-Q)×cosαcosβ (4)

由(3)(4)得到:

1=[P*P+(1-Q)*(1-Q)](cosαcosβ)(cosαcosβ) (5)

将(3)(4)(5)带入,得到:

原式=(-P)cosαcosβ(-P)(cosαcosβ)

+P×(-p×cosαcosβ)(1-Q)×cosαcosβ

+Q(1-Q)cosαcosβ(1-Q)cosαcosβ

=P×P×(cosαcosβ)(cosαcosβ-cosαcosβ+Qcosαcosβ)

+Q(1-Q)cosαcosβ(1-Q)cosαcosβ

=Q[P*P+(1-Q)*(1-Q)](cosαcosβ)(cosαcosβ)]

=Q