我的证明大概都不是很"正统".
(I) 用反证法,假设0 < 1/x+1/y+1/z < 1.
则有x²-1 > (1/x+1/y+1/z)²x²-1
= x²/y²+x²/z²+2x/y+2x/z+2x²/(yz)
= x²/y²+x²/z²+x/y+x/y+x/z+x/z+x²/(yz)+x²/(yz)
≥ 8·((x²/y²)(x²/z²)(x/y)(x/y)(x/z)(x/z)(x²/(yz))(x²/(yz)))^(1/8) (8元均值不等式)
= 8·x^(3/2)/(yz)^(3/4)
> 0.
同理可得y²-1 > 8·y^(3/2)/(zx)^(3/4) > 0,z²-1 > 8·z^(3/2)/(xy)^(3/4) > 0.
相乘即得(x²-1)(y²-1)(z²-1) > 8³,与条件矛盾.
因此1/x+1/y+1/z ≥ 1.
(II) 用调整法.
先证明如下二元情形:
设x,y > 0,满足xy = a² (a > 0),则
① 当a ≤ 2时,1/√(1+x)+1/√(1+y) ≤ 2/√(1+a),
② 当a ≥ 3时,1/√(1+x)+1/√(1+y) ≥ 2/√(1+a).
进行变形:(1/√(1+x)+1/√(1+y))²
= 1/(1+x)+1/(1+y)+2/√((1+x)(1+y))
= (2+x+y)/(1+x+y+xy)+2/√(1+x+y+xy))
= 1+(1-a²)/(1+x+y+a²)+2/√(1+x+y+a²).
设t = 1/√(1+x+y+a²),则上式化为f(t) = 1+(1-a²)t²+2t.
由均值不等式t ≤ 1/√(1+2√(xy)+a²) = 1/√(1+2a+a²) = 1/(1+a).
t的取值范围为(0,1/(1+a)].
若a ≤ 1,易见f(t)在(0,1/(1+a)]上单调递增.
若1 < a ≤ 2,f(t)作为关于t的二次函数,对称轴为t = 1/(a²-1),在t ≤ 1/(a²-1)时单调递增.
而由1 < a ≤ 2,1/(a²-1) = 1/(1+a)·1/(a-1) ≥ 1/(1+a).
因此f(t)同样在(0,1/(1+a)]上单调递增.
综合两种情况即得a ≤ 2时,(1/√(1+x)+1/√(1+y))² = f(t) ≤ f(1/(1+a)) = 4/(1+a).
故1/√(1+x)+1/√(1+y) ≤ 2/√(1+a) (即得①).
当a ≥ 3时,1/(1+a) > 1/(a²-1),2/(a²-1)-1/(1+a) = (3-a)/(a²-1) ≤ 0与之关于对称轴对称.
二次函数f(t)在[(3-a)/(a²-1),1/(1+a)]上的最小值为f(1/(1+a)) = 4/(1+a).
而t的取值范围(0,1/(1+a)] ⊆ [(3-a)/(a²-1),1/(1+a)],因此(1/√(1+x)+1/√(1+y))² = f(t) ≥ 4/(1+a).
故1/√(1+x)+1/√(1+y) ≥ 2/√(1+a) (即得②).
回到原题,由对称性,不妨设x ≥ y ≥ z.
由x,y,z > 0,xyz = 8,有x ≥ 2,于是yz = 8/x ≤ 4.
取a = √(8/x) ≤ 2,由①得1/√(1+y)+1/√(1+z) ≤ 2/√(1+a).
于是1/√(1+x)+1/√(1+y)+1/√(1+z) ≤ 1/√(1+x)+2/√(1+a) = 1/√(1+8/a²)+2/√(1+a).
只要证明0 < a ≤ 2时,1/√(1+8/a²)+2/√(1+a) < 2.
实际上2-2/√(1+a) = 2(√(1+a)-1)/√(1+a)
= 2a/(√(1+a)·(√(1+a)+1))
> 2a/(√(1+a)·2√(1+a)) (a > 0)
= a/(a+1)
= a/√(1+2a+a²)
≥ a/√(5+a²) (a ≤ 2)
> a/√(8+a²)
= 1/√(1+8/a²).
右端得证.
考虑左端,仍设x ≥ y ≥ z.
若y < 3,有1/√(1+y)+1/√(1+z) ≥ 2/√(1+y) > 2/√(1+3) = 1,可知此时左端成立.
只需考虑y ≥ 3的情况.
取a = √(xy) ≥ y ≥ 3,由②得1/√(1+x)+1/√(1+y) ≥ 2/√(1+a).
于是1/√(1+x)+1/√(1+y)+1/√(1+z) ≥ 2/√(1+a)+1/√(1+z) = 2/√(1+a)+1/√(1+8/a²).
只要证明a ≥ 3时,1/√(1+8/a²)+2/√(1+a) > 1.
由a > 0,有0 < √(1+a) < 1+a < 2+a,故2/√(1+a) > 2/(2+a).
另一方面,由a ≥ 3,1/√(1+8/a²) = a/√(a²+8) > a/√(a²+4a+4) = a/(a+2).
故1/√(1+8/a²)+2/√(1+a) > a/(a+2)+2/(2+a) = 1,左端得证.
主要思路就是在固定一个变量不变时,用二元情形证明:
最大值或最小值(在各自的条件下)是在剩下两个变量相等时取得.
然后将问题化为一个一元函数的极值问题.
