已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足以下三个条件：①f（1）=1；②对任意的x∈[0，1]，都有f（x）≥0
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解题思路：（1）根据抽象函数的定义，利用赋值法即可求f（0）的值；
（2）根据条件判断函数的单调性，即可求f（x）的最大值；
（3）根据不等式恒成立的等价条件即可证明：当
x∈[
1
4
，1]
时，恒有2x≥f（x）．
（1）令x∈[0，1]，y=0，则有f（x）=f（x+0）≥f（x）+f（0），
∴有f（0）≤0，
又根据条件（2）可知f（0）≥0，
故f（0）=0．（也可令x=y=0）．
（2）设0≤x1＜x2≤1，
则有f（ x2）=f（ x2-x1+x1）≥f（ x2-x1）+f（ x1）≥f（ x1），
即f（x）为增函数（严格来讲为不减函数），
∴f（x）≤f（1）=1，
故f（x）max=1．
（3）当x∈[
1
2，1]，有2x≥1，
又由（2）可知f（x）≤1，
∴有2x≥f（x）对任意的x∈[
1
2，1]恒成立．
当x∈[
1
4，
1
2)，有，又由（2）可知f(x)≤f(
1
2)＝
f(
1
2)+f(
1
2)
2≤
f(
1
2+
1
2)
2＝
1
2，
∴有2x≥f（x）对任意x∈[
1
4，
1
2)，恒成立．
综上．对任意x∈[
1
4，1]，恒有2x≥f（x）成立．
点评：
本题考点： 函数恒成立问题．
考点点评： 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，考查学生的运算能力，综合性较强．
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