设总体X的分布律为P（X=k）=（1-p）k-1p，k=1，2，…，其中p为未知参数，X1，X2，…，Xn为取自总体X的
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解题思路：先求出EX，然后反求，即可求出矩估计，通过对似然函数求对数再求导，令导数等于0，即可求出最大似然估计．
EX＝
∞
k＝1kP(X＝k)＝
∞
k＝1k(1−p)k−1p．
为了计算上述级数的和，我们考虑幂级数
∞
k＝1xk＝
x
1−x，x∈(−1，1)．
对该式两边运用逐项求导定理可得
∞
k＝1kxk−1＝
1
(1−x)2，x∈(−1，1)．
由于1-p∈（-1，1），因此有
∞
k＝1k(1−p)k−1p＝p
∞
k＝1k(1−p)k−1＝p
1
[1−(1−p)]2＝
1
p．
也即EX＝
1
p，因此p＝
1
EX．则p的矩估计量为：ρ=
1
.
X．
为求p的最大似然估计量，先设随机样本X1，X2，…，Xn的观测值分别为x1，x2，…，xn，
则似然函数：L（ρ）=
n
π
k＝1P(XK＝xk)＝(1−p)
n
k＝1xk−nρn．
为了便于求最大值，对似然函数求对数得：
lnL(p)＝[
n
k＝1xk−n]ln(1−p)+nlnp．
对参数p求导得：
d[lnL(p)]
dp＝
[
n
k＝1xk−n]
p−1+
n
p＝
点评：
本题考点： 最大似然估计法；构造估计量的矩估计法．
考点点评： 本题主要考查最大似然估计和矩估计量的基本计算方法，属于基础题．
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